Discretizzazione di problemi ellittici. Elementi di elaborazione e ricostruzione di immagini. Fattoriz-zazioni spettrali di matrici strutturate (Toeplitz, Hankel, circolanti). Metodi diretti per matrici sparse (cenni). Metodi iterativi per sistemi lineari: metodi di Richardson; metodo del gradiente. Metodi di Krylov: metodo del gradiente coniugato; algoritmo di Arnoldi e metodo GMRES; precon-dizionamento.
Hansen, Nagy, O’Leary, “Deblurring Images. Matrices, Spectra and Filtering”, Fundamentals of Algorithms, SIAM, Philadelphia, 2006.
Kelley, "Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations", Frontiers in Applied Mathematics, v. 16, SIAM, Philadelphia, 1995.
Saad, “Iterative Methods for Sparse Linear Systems”, II ed., SIAM, Philadelphia, 2003.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
In molte applicazioni pratiche della matematica nasce l’esigenza di risolvere sistemi di equazioni lineari che possono coinvolgere un numero anche molto elevato di variabili. Obiettivo del corso è fornire conoscenze specifiche, sui metodi numerici che consentono di risolvere in modo efficiente questi problemi.
Il corso si propone anche di illustrare l’applicazione dei metodi numerici considerati, e di analizzarne il comportamento pratico, attraverso la risoluzione in ambiente Matlab di alcuni problemi di grandi dimensioni, che nascono dalla discretizzazione di problemi ellittici e nell’ambito della ricostruzione di immagini.
Competenze acquisite:
Conoscenza dell’algebra lineare che si cela dietro molti problemi applicativi, come quelli che nascono nell’ambito della elaborazione di immagini, e dei principali metodi numerici per la risoluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni.
Capacità acquisite (al termine del corso):
Capacita’ di sviluppare semplici programmi e di utilizzare il software disponibile in Matlab, per risolvere alcuni problemi di grandi dimensioni che nascono dalla discretizzazione di problemi ellittici e nell’ambito della ricostruzione di immagini. Capacita’ di interpretare i risultati numerici ottenuti.
Prerequisiti
Corsi raccomandati: corsi di base di calcolo numerico o di algebra lineare numerica, e di Matlab
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 150
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 102
Numero di ore relative alle attività in aula: 30
Numero di ore relative ad attività di laboratorio (lezioni in laboratorio): 18
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica
UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Orario di ricevimento:
Mercoledì, 14.00-16.00 o su appuntamento.
Dipartimento di Energetica "Sergio Stecco".
Viale Morgagni, 40/44 - 50134 Firenze
Tel. 055 4796716
Fax. 055 4796744
alessandra.papini@unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Orale
Programma del corso
Discretizzazione di problemi ellittici mediante differenze finite (cenni). Introduzione alla ricostruzione di immagini (deblurring): rappresenta-zione e memorizzazione di una immagine; operatori di blurring; matrici di Toeplitz e di Hankel, matrici circolanti e fattorizzazioni spettrali; tecniche di regolarizzazione e filtraggio spettrale. Metodi diretti per matrici sparse e/o strutturate di grandi dimensioni (cenni). Metodi iterativi per sistemi lineari di grandi dimensioni: richiami sui metodi stazionari; metodi di Richardson rilassati; risultati di convergenza. Generalità sui metodi non stazionari; metodo del gradiente. Introduzione ai metodi di Krylov: proprietà di minimizzazione e di convergenza; metodo del gradiente coniugato; algoritmo di Arnoldi e metodo GMRES. Tecniche di precordiziona-mento. Risoluzione di semplici problemi ellittici e ricostruzione di immagini in Matlab.