Insegnamento mutuato da: - METODI NUMERICI PER L'INGEGNERIA Laurea Magistrale in INGEGNERIA PER LA TUTELA DELL'AMBIENTE E DEL TERRITORIO
Lingua Insegnamento - Parte A
Italiano
Contenuto del corso - Parte A
Fondamenti dell'analisi numerica. Risoluzione di sistemi lineari. Approssimazione di dati e funzioni. Integrazione numerica. Risoluzione numerica di equazioni non lineari. Equazioni differenziali ordinarie: metodi a passo singolo per problemi ai valori iniziali, metodi alle differenze finite per problemi ai limiti.
M.G. Gasparo, R. Morandi, Elementi di Calcolo Numerico, McGraw Hill, 2008.
A.Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri : Matematica Numerica. Springer-Verlag Italia,1998
Obiettivi Formativi - Parte A
Il corso si occupa della definizione e dello studio di metodi per la risoluzione di problemi matematici mediante l’uso dell’elaboratore elettronico. Scopo del corso è quello di illustrare le metodologie di base dell’analisi numerica per la risoluzione di problemi matematici che nascono nelle applicazioni, ponendo una particolare attenzione agli aspetti legati alla realizzazione e all’utilizzo di tali metodologie su calcolatore.
Conoscenze acquisite:
Lo studente acquisisce la conoscenza dei metodi numerici classici per risolvere i problemi matematici considerati.
Competenze acquisite:
Lo studente acquisisce le competenze per comprendere le problematiche legate alla risoluzione numerica di problemi matematici.
Capacita’ acquisite (al termine del corso):
Gli studenti saranno in grado di scegliere e usare il metodo numerico e l'algoritmo piu' adatti a risolvere un dato problema, e interpretare i risultati numerici.
Prerequisiti - Parte A
Elementi di algebra lineare: vettori, matrici, determinanti, soluzione di sistemi lineari algebrici. Elementi di analisi matematica: successioni e loro convergenza, limiti e continuità delle funzioni reali, concetti fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili e del calcolo integrale, sviluppo troncato di Taylor.
Metodi Didattici - Parte A
Lezioni frontali: esposizione della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense integrative e di esempi di testi di prove d’esame.
Altre Informazioni - Parte A
Il modulo A e' mutuato da:
- Analisi Numerica e Programmazione (LM Ingegneria Civile)
- Analisi Numerica (LM Ingegneria Edile)
- Elements of Numerical Calculus (LM Informatica)
Frequenza delle lezioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica: libri di testo, dispense, UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Modalità di verifica apprendimento - Parte A
Sono previste:
a) una prova scritta (per la Parte A)
b) una prova pratica in Matlab (per la Parte B)
c) un colloquio facoltativo.
a) Prova scritta di teoria, con quesiti a risposta aperta. La prova è strutturata in modo tale da verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso.
b) Vedi parte B.
Il risultato ottenuto nella prova a), ovvero la media pesata delle votazioni ottenute nelle due prove per i corsi che prevedono anche la parte B, costituisce la votazione finale qualora lo studente non richieda di sostenere la prova orale. Voto minimo: 18/30.
c) Colloquio. Puo' essere richiesto dallo studente previo superamento delle prove precedenti con votazione di almeno 18/30. Vengono poste alcune domande (solitamente tre) sul programma svolto. L'orale sara' prevalentemente rivolto ad accertare un'adeguata conoscenza del programma, e potra' includere la discussione della prova scritta e della prova Matlab (se prevista).
Il voto finale viene determinato tenendo conto del risultati di tutte le prove sostenute.
Programma del corso - Parte A
Concetti fondamentali - Buona posizione e condizionamento di un problema, stabilità e convergenza di un metodo numerico, sorgenti di errore nei modelli computazionali. Algoritmi: definizione, istruzioni fondamentali, costo computazionale, accuratezza, affidabilità, efficienza. Aritmetica in precisione finita: rappresentazione floating-point dei numeri, precisione di macchina, operazioni aritmetiche in precisione finita, errori di arrotondamento.
Sistemi lineari - Numero di condizionamento di una matrice. Matrici di permutazione e soluzione di sistemi triangolari; fattorizzazione LU e utilità della tecnica pivoting; fattorizzazione di Cholesky; analisi degli errori.
Approssimazione di dati e funzioni - Interpolazione polinomiale: posizione del problema. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Convergenza e condizionamento. Interpolazione polinomiale a tratti: funzioni spline monodimensionali, spline cubiche interpolatorie. Data fitting: posizione del problema e tecnica dei minimi quadrati.
Integrazione e derivazione numerica - Calcolo approssimato di integrali: la regola dei trapezi e quella di Cavalieri-Simpson; formule basate su interpolazione polinomiale a tratti; estrapolazione di Richardson. Approssimazione delle derivate di una funzione: metodi alle differenze finite classiche, applicazioni.
Equazioni non lineari - Individuazione grafica delle radici. Metodi di approssimazione numerica: bisezione, tangenti; interpretazione geometrica, convergenza, criteri di arresto, algoritmi e applicazioni.
Problemi differenziali - Richiami su equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie; problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti: soluzione analitica e soluzione numerica. Problemi di Cauchy: metodi a passo singolo di Runge-Kutta espliciti; errore di troncamento locale. Problemi ai limiti: metodi alle differenze finite;
schemi alle differenze centrali e metodi upwind; convergenza e aspetti computazionali.