B029716 - STOCHASTIC PROCESSES

Inglese

Per i Matematici: Cenni a martingale, moto Browniano, integrali stocastici, calcolo di Ito ed equazioni differenziali stocastiche. Prime nozioni di crittografia . La tecnologia blockchain. [Per gli Informatici: richiami ai problemi NP completi con fattorizzazione di numeri primi, curve ellittiche, algoritmi quantistici e probabilistici] Case study: l' ambito finanziario (criptovalute,opzioni, prezzaggio di titoli derivati, curva dei tassi d'interesse, gestione di portfolio

B. Oksendal - Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications
I. Karatzas, S. Shreve - Brownian Motion and Stochastic Calculus

Paul Wilmott - Sam Howison - Jeff Dewynne: The Mathematics of Financial Derivatives- Cambridge University Press

Appunti forniti sulla piattaforma Moodle

Il Corso ha l’obiettivo di fornire a tutti gli studenti conoscenze di calcolo stocastico e delle sue applicazioni in matematica finanziaria. Inoltre agli studenti verranno fornite conoscenze e capacità di comprensione basilari nella tecnologia blockchain. Agli studenti di Matematica saranno fornite conoscenze approfondite di Calcolo Stocastico mentre a quelli d'Informatica conoscenze approfondite relative agli algoritmi usati in ambito crittografico. Il corso intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici ed informatica in vari ambiti. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie nel lavoro di squadra. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per il proseguimento degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico.

Insegnamenti contenenti i prerequisiti (vincolanti e/o consigliati)
Corsi vincolanti: Calcolo delle Probabilità, Analisi Matematica I e II
Corsi consigliati: Algoritmi e strutture dati

CFU: 9
Numero di ore totali del corso: 220
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 148
Numero di ore relative alle attività in aula: 72


Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.


Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente e diffusione di dispense integrative.

Nota: I testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale di approfondimento importante per il prosieguo degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico.

Orario di ricevimento:
Per il prof. Vespri, 4 ore a settimana su appuntamento via e-mail. Preferibilmente lunedì e martedì dalle 13.30 alle 15.30.

Recapito del prof. Vespri:
Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 67/a
50134 FIRENZE
Tel: 055 2751405
Email: vespri@math.unifi.it

Per il dr. Bet: due ore ogni settimana alla stessa ora/giorno fissati assieme agli studenti.

Recapito del dr. Bet:
Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 65
50134 FIRENZE
Tel: 055 2751491‬
Email: gianmarco.bet@unifi.it

Prova orale: Vengono poste alcune domande.

Studenti di matematica: la parte di calcolo stocastico prevede una prova scritta con esercizi, teoremi e dimostrazioni e una prova orale facoltativa sulla teoria svolta a lezione.
La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio scientifico appropriato.

Argomenti trattati:

1.
Per i Matematici:
- Problemi che motivano lo studio delle equazione differenziali stocastiche
- Moto Browniano: esistenza e proprietà
- Integrale di Ito: costruzione e proprietà
- Calcolo di Ito, teorema di rappresentazione
- Equazioni differenziali stocastiche: soluzioni deboli e forti, esistenza e unicità, metodi risolutivi
Se il tempo lo permette:
- Applicazioni a problemi di filtraggio
- Diffusioni, equazioni di Kolmogorov, formula di Feynman-Kac, teorema di Girsanov
- Applicazioni a controllo stocastico

2.
- Mercati Finanziari, Titoli ed Obbligazioni, Opzioni Europee ed Asiatiche
- Modello di Black and Scholes, Equazione di Black and Scholes, Equazioni differenziali alle derivate parziali (cenni), Opzioni americane - problemi di ostacolo e frontiera libera (cenni)
- Risoluzione numerica delle equazioni di Black and Scholes (opzioni europee), Metodo alle differenze finite, LSU, SOR, Crank-Nicholson, Metodo Binomiale, Risoluzione numerica delle equazioni di Black and Scholes (opzioni americane)
- Opzioni esotiche, Opzioni composte, Opzioni chooser, Opzioni barriera, Opzioni asiatiche, Opzioni lookback, Opzioni russe, Opzioni stop loss, Opzioni con costi di transazione
- Prezzaggio delle obbligazioni, La Yield curve, Tasso di interesse stocastico, Equazione del prezzaggio delle obbligazioni
Opzioni sui bond,
- Swaps, Floors, Caps, Opzioni su swaps, floors e caps, Bond convertibili, Bond convertibili con tasso di interesse stocastico

3.
- La tecnologia blockchain.
- Il problema del consenso.
- La prima generazione di criptovalute.
- Blockchain 2.0 e 3.0
- Applicazioni
- Ripasso di crittografia.

4.
Per gli Informatici:
- Algoritmi per la fattorizzazione di numeri primi
- Algoritmi per la risoluzioni di problemi relativi alle curve ellittiche
- Algoritmi quantistici per la risoluzione di problemi NP completi